Heterocera scientia

A mostani számban megint matekozok kicsit. Ha nagyon szeretnénk ezt valamihez kapcsolni, akkor maradjunk annyiban, hogy márciusban kapott Szemerédi Endre magyar származású matematikus Abel-díjat.

A végtelenről és természetéről lesz szó, ehhez pedig John D. Barrow: A végtelen könyve c. művét hívom segítségül.
Először is a végtelen jelének eredetét tisztáznám: először 1655-ben John Wallis orxfordi matematikus használta. Az ezret (római M) írták néha a következő alakban: ⊂ | ⊃ , ennek gyors leírásából keletkezett a fekvő nyolcas. Persze a forma népszerűsödésében valószínűleg nagy szerepet játszott, hogy egy önmagába záródó hurok: ∞.

Engem először 7.-es koromban nyűgözött le a végtelen: akkor láttam matek órán a kör közelítését sokszögekkel. Kivételesen egy kistanár tartotta az órát, és belerajzolt a körbe egy nyolcszöget, aztán folyamatosan finomította 16-szöggé, 32-szöggé, és így tovább, míg egyértelmű nem lett, hogy a „végtelensokszög” az maga a kör. Azt hiszem ekkor szerettem bele végleg a matematikába, és főként a végtelen fogalmába. Legközelebbi meghatározó találkozásom a végtelennel már az egyetem első évére datálható, a következő feladat képében:
A Végtelen Szálloda (Hotel Végtelen) ötlete Hilbert fejében fogalmazódott meg. Ő amúgyis híres volt különcségéről és nem mindennapi gondolkodásáról. Állítólag egyik tanítványa öngyilkos lett, miután nem tudott megoldani egy különösen nehéz matematikai problémát. A diák családja felkérte Hilbertet, hogy mondjon gyászbeszédet a temetésen, ahol is Hilbert közölte, hogy a feladvány egyáltalán nem volt olyan nehéz, csak a fiatalember rossz irányba indult el a megoldást illetően.

Ennek fényében talán érthetőbb lesz, hogyan jutottak eszébe a következőhöz hasonló feladványok:
„Az általunk ismert szállodákban véges számú egyágyas szoba van. Ha mind foglalt, egy új vendég nem tud megszállni, hacsak egy régit ki nem lakoltatnak. A szálloda, ha egyszer megtelt, megtelt. A Hotel Végtelenben ez nem így működik. Tegyük fel, hogy az Olvasó új vendégként érkezik a Végtelen Szálloda portájára, és kiderül, hogy a végtelen számú szobában ( az 1-esben, a 2-esben, a 3-asban, a 4-esben, és így tovább, a végtelenségig) már mind laknak. A portás a homlokát ráncolja- elvégre a szálloda megtelt-, de az igazgató megőrzi a hidegvérét. Semmi gond, költöztessük az 1-es szoba lakóját a 2-esbe, a 2-es vendéget a 3-asba és így tovább, a végtelenségig. Így az Olvasó elfoglalhatja az 1-es szobát, és még mindig mindenkinek lesz hol aludnia!
Az Olvasónak annyira megtetszik a hely, hogy legközelebb, amikor a városban jár, ismét a Hotel Végtelent választja. Csakhogy most végtelen számú barátjával érkezik egy hatalmas osztálytalálkozóra. A szálloda közben divatba jött, és megint telt ház van, de az igazgató fel van készülve az ilyen helyzetekre is.
-Nem gond elszállásolni egy végtelen társaságot – magyarázza az ideges portásnak. Meg is teszi: az 1-es szoba lakóját áthelyezi a 2-esbe, az ott lakót a 4-esbe, a 3-as vendéget a 6-osba, és így tovább, a végtelenségig. Az összes páratlan számú szoba üres marad. Végtelen sok ilyen van, így az Olvasó ismét szobához jutott, végtelen számú volt osztálytársaival együtt.”
A könyvből megtudhatjuk még, mihez kezd az igazgató azzal, amikor végtelen számú végtelen tagból álló társaság érkezik a szállodába, illetve, hogy mit kezd az adóbevallásnál a végtelen nagy adótartozásával.

A végtelen eredete

A végtelenség gondolata ősidők óta foglalkoztatja az embert. Elég, ha a hatalmas égboltra, vagy a változások körkörösségére gondolunk, a nappal-éjszaka, az évszakok váltakozására, ciklikusan újra és újra visszatérésére, vagy a születés-halál körforgására. „Az embernek minden elképzelés szerint szerepe van a létezés végtelen körforgásában. Egy időre megjelenünk az élet folyamatában, majd helyünket más élőlények veszik át. A kezdet vagy a vég szingularitása megzavarná a létezés természetes rendjét.”
Az igazság az, hogy nem mindenki viseltetik olyan leplezetlen vonzalommal a végtelen iránt, mint jómagam. Az ókorban, de még a kora újkorban is egyenesen irtóztak a matematikusok a végtelen gondolatától: „A görögök általában ugyanúgy féltek a végtelent beengedni matematikai rendszerükbe, mint a nullát. A nulla fogalmának elfogadása azt jelentette volna, hogy a semmit valaminek tekintik, és ezzel – mint trójai falovat – egy ellentmondást csempésznek be logikai rendszerükbe. A végtelen is valami hasonló dolognak tűnt. Nem tud a szokásos módon kapcsolódni a többi számhoz – ha egyet adunk hozzá, még mindig végtelen marad –, és felbukkanásához zavarba ejtően kötődik a semmi fogalma. Ha egy számot a nullával osztjuk, az eredmény: végtelen. Brahmagupta indiai matematikus 628-ban így írhatott az alábbihoz hasonló egyenlőségeket, miután a tízes számrendszerébe bevezette a nullát:
∞= 1/0 , 0=1/∞
És nem foglalkozott a nulla vagy a végtelen nagyobb filozófiai következményeivel. A végtelennel szembeni ellenállást a semmitől való irtózáshoz lehetne hasonlítnai („horror vacui-horror infiniti”), amely az 1800-as évekre sem hagyott alább. Olyan nagy matematikusok álltak ellen a végtelen fogalmának, mint Galilei, vagy Kronecker. Ebben az évszázadban született ugyanis egy zseniális matematikus, Georg Cantor, akinek köszönhetően a végtelen végre elfoglalhatta a neki járó helyet a matematikában.
„Cantor definiálta a megszámlálható végtelent: azt nevezte így, amelyhez megadható kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés a természetes számokkal. Így például a páros és a páratlan számok sora megszámlálhatatlan. Cantor értelmezésében minden megszámlálhatóan végtelen halmaz ugyanakkora. Úgy gondolta, ezek a lehető legkisebb végtelenek, ezért ezeket a héber ábécé első betűjével, az alef-nullával (א után alsó indexben 0) jelölte. Meglepő következményekhez vezetett ez: a racionális számok (azaz azok a számok, amik felírhatók két egész szám hányadosaként, pl.: ½, 3/12, stb.) is megszámlálható végtelen sokan vannak, azaz ugyanannyian, mint az egész számok. „Az ókori matematikusok által ismert összes végtelen megszámlálható volt. De vajon létezik-e másféle végtelen? Cantor később egy új típusú matematikai bizonyítással megmutatta, hogy vannak nagyobb, nem megszámlálható végtelenek is. A tizedestörtekhez (amelyeknek legtöbbike végtelen, köztük az irracionális számok is, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként) nincs olyan módszer, amellyel megszámlálhatóak lennének. Végtelenül többen vannak, mint az egész vagy racionális számok. Ezeket jelölte Cantor az alef-eggyel (א alsó index 1). Erről a számosságról érdemes tudni, hogy ennyien vannak egy egyenesnek illetve egy félkörnek a pontjai. Tudniillik „Vegyünk egy akkora zsinórt, amelyből le tudunk fektetni egy 1 méter átmérőjű félkört. Képzeljünk el egy végtelenül hosszú egyenest, amely párhuzamos a végpontok által kijelölt átmérővel. Ha összekötjük a félkör középpontját a végtelen hosszú egyenes bármely pontjával, az metszi a félkört egy pontban. Az ábra alapján nyilvánvaló, hogy ilyen szakaszokkal össze lehet kötni a félkör pontosan egy pontját az egyenes pontosan egy pontjával. A félkör tehát ugyanannyi pontból áll, mint az egyenes.”

A drámai felfedezés nem az eddig tárgyalt végtelenekben merült ki. Cantor felfedezte, hogy ezeknél mind vannak végtelenül nagyobb végtelenek, azaz az alefek listája végtelenül folytatható, mind felett léteznek még nagyobb rendű végtelenek. Azonban Cantor felfedezését nem fogadta osztatlan siker. Akkoriban a matematikusok egyáltalán nem nézték jó szemmel, és nem is tudták addigi elképzeléseikbe integrálni Cantor szikrázó elméletét. Legnagyobb ellenlábasa a fent említett Leopold Kronecker volt, akinek áskálódásai miatt 1884-ben Cantor ideg-összeroppanást kapott. Egy hónap alatt jobban lett, de élete hátralevő részében depresszióval küzdött, és munkájának nemzetközi elismerésére az 1900-as évekig kellett várnia – ennyi időbe telt, míg a matematikai társadalom kiheverte azt a sokkot, amit felfedezése okozott. 1885-ben Cantor felhagyott a matematikával, teológusokkal és más gondolkodókkal kezdett levelezni, és végképp Isten felé fordult. Barátainak azt mondogatta, hogy végtelenről írott gondolatai nem tőle, hanem egyenesen Istentől származnak, innentől kezdve a végtelennel kapcsolatos nézeteit isteni kinyilatkoztatásnak tekintette. Éppen jókor váltott, az új katolikus egyházfő, XIII. Leó megkísérelte összhangba hozni a vallást és a tudományt, így Rómából jóval felvilágosultabb nézetek kerültek ki. De lássuk, hogyan indult ez a rögös út, míg Isten és a végtelen szintézisre jutottak!

A végtelenség és az Isten

A reneszánsz korban Isten két fő tulajdonsága a lét és a végtelenség volt. ”Volt egyfajta félelem a vallásos emberekben, hogy „még Isten sem foglalja magában a végtelen fogalmát”. Erre Szent Ágoston úgy cáfolt rá, hogy ami az emberi elmében végtelen, az az Isten elméjében véges nagyságú. Érdekes, hogy a modern matematika ugyanezt a trükköt használja a végtelen tartományok végessé tételére, vannak olyan transzformációk, amik a végtelent egyetlen ponttá tudják alakítani… és persze vannak olyan transzformációk, amik egyetlen pontból csinálnak végtelen tartományt. „Ha a végtelent úgy zabolázzák meg a matematikusok és a filozófusok, hogy az egyszerűen papírra vethető lesz, akkor mi marad Istenből? Ilyen körülmények között fontossá vált, hogy a teológusok ne azonosítsák alapvetően Istent a végtelennel. Ez még nem azt jelenti, hogy Isten véges lenne, hanem csak annak a tagadását, hogy csak azért, mert Isten egy tulajdonságát valamennyire megértjük, attól Isten jelentősége csorbul.
Kant szerint a Világegyetem mind kiterjedésében, mind a benne előforduló lehetőségek tekintetében végtelen. Ilyen értelemben Isten tükröződik benne. De az ezzel kapcsolatos hit nem ugyanaz, mint a tudás. Kant az ilyen végtelenségeket az igazi valóságok közé sorolja, de az emberi korlátaink miatt ezeket szükségképpen csak véges módon érzékelhetjük, illetve érthetjük.”
Blaise Pascal XVII. századi matematikus, filozófus és természettudós, akinek a nevéhez kapcsolódik például a légnyomás felfedezése, illetve az integrálszámítás alapjainak lefektetése. Nagyon vallásos volt tudós létére, és (paradox módon) gyakorlati megoldást akart kidolgozni az istenhit szükségességének bizonyítására. Egy fogadás kereteiben közelítette meg a kérdést: Hogyan játsszunk, ha a kérdés, hogy érdemes-e hinni Isten létezésében? Pascal szerint kétféle kimenetel van: Isten vagy létezik, vagy nem. Mik lehetnek a választásunk kimenetelei? „Pascal szerint azért jobb hinni Istenben, mert ha létezik, az olyan végtelen nyereség, amely mindig meghaladja a véges időveszteséget, amely akkor adódna, ha mégsem létezne. Ehhez hasonlóan, ha az ateista álláspontra tesszük a tétet, kisebb a várható nyereség, mert ha Isten létezik, a veszteség végtelen, de ha nem, az emberi nyereség csak véges lehet.”
(Pascal egyébként nem csak Isten létezésével kapcsolatban foglalkozott a végtelennel, integrálszámításban is használta a fogalmat.)
Az orosz ortodox apofatikus teológiából származik az „ontológiai (avagy lételméleti) istenérv” kifejezéssel jelölt, Isten létezését bizonyító érvek hosszú sora. 1078-ban kezdődött Szent Anzelm Canterbury egyik első érsekének okfejtésével. Ő közvetve felhasználta Isten végtelen mivoltát, amikor Istent olyan tulajdonságokkal ruházta fel, amelyből szerinte logikailag következett a létezése is. Azt írta, hogyha Isten az elképzelhető leghatalmasabb lény, akkor nemcsak potenciálisan, hanem ténylegesen is léteznie kell, mert különben még tökéletesebb lényt képzelhetnénk el: olyat, akinek megvan még a tényleges létezés tulajdonsága is.” Ezek szerint ha valaki Istent úgy határozza meg, mint akinek „minden tulajdonsága megvan”, és a létezést is tulajdonságnak tekinti, akkor Istennek rendelkeznie kell ezzel a tulajdonsággal is, tehát léteznie kell. Kant mutatott elsőnek rá arra, hogy az alapvető hiba ezekben az érvelésekben az, hogy a létezés nem tulajdonság, hanem az előfeltétele annak, hogy valaminek tulajdonságai legyenek.

Végezetül lássunk egy lételméleti istenérv-„bizonyítást” Kurt Gödeltől:

axióma: Egy tulajdonság akkor és csak akkor pozitív, ha tagadása negatív.
axióma: Egy tulajdonság pozitív, ha szükségszerűen tartalmaz egy pozitív tulajdonságot.
tétel: A pozitív tulajdonságok logikailag konzisztensek (vagyis lehet, hogy léteznek).
Meghatározás: Valami akkor és csak akkor istenszerű, ha rendelkezik minden pozitív tulajdonsággal.
axióma: Az istenszerűség pozitív tulajdonság.
axióma: A pozitív tulajdonságok létezése logikus, tehát szükségszerű.
Meghatározás: T tulajdonság akkor és csak akkor x lényege, ha x rendelkezik T tulajdonsággal, és T szükségszerűen minimális.
tétel: Ha x istenszerű, akkor az istenszerűség szükségszerűen x lényege.
Meghatározás: x szükségszerűen létezik, ha van lényeges tulajdonsága.
axióma: Ami szükségszerűen létezik, istenszerű.
3. tétel: Szükségszerű, hogy legyen istenszerű x.

Sajnos távolról sem fér el itt minden, amiről szerettem volna szót ejteni a végtelennel kapcsolatban, viszont minden más megtalálható Barrow könyvében, jó szívvel ajánlom azoknak, akiknek a figyelmét sikerült felkeltenem!

Lassan gyanússá válhat, hogy folyton @HAritól idézek ebben a rovatban, ezt alátámasztandó, lássunk egy értékelést tőle Edward de Bono: Gondolkozz! …mielőtt túl késő c. könyvről:

Illetve ugyancsak ehhez kapcsolódóan egy idézet:

illetve:

továbbá:

Olvashatunk még egy értékelést @alie tolmácsolásában Simon Singh: A Nagy Bumm c. könyvéről:

Végül, de nem utolsósorban @csartak karca: